Introduites par Osher & Sethian (1998), les courbes de niveaux sont des méthodes numériques permettant le calcul de la propagation spatiale d'un front au cours du temps.

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Contours actifs géodésiques

Les courbes de niveaux
(level sets)

Les courbes de niveaux (level sets)

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I - Présentation

On définit le contour actif par une fonction du temps C(t) définie de 0-8 dans Rn, où N est la dimension du contour (dimension 2 pour des images 2D, dimension 3 pour des images 3D). Le principe des courbes de niveaux est de représenter ce contour par une fonction rond de dimension supérieure qui représente la distance signée des pixels (voxels en 3D) à cette courbe. On considère la distance comme négative à l’intérieur de la surface, comme positive à l’extérieur. Osher et Sethian ont mis en évidence l’équation qui en résulte :

l’équation géométrique Euclidienne de chaleur :

contours actifs

où x est un point de Rn, t est le temps et V(k) est la vitesse à laquelle le contour se propage (qui dépend du coefficient de courbure k de l’interface). Tout dépend en fait de ce terme V qui traduit l’attache aux données.

On s’arrête lorsque rond n’évolue plus, c’est à dire lorsque level2

Dans le cas 2D, pour un temps donné t=T, la distance signée level3 est une fonction à deux variables à valeurs dans R, dont la ligne de niveau zéro correspond en fait au contour actif.

Suivant cette approche, rond évolue dans le temps sous les contraintes (forces) qui lui sont appliquées.

En 3D, rond est une fonction à trois variables à valeurs dans R, et l’isoniveau est l’intersection de rond avec l’hyperplan de niveau zéro.

contours actifs
  • FIG. 1 – Utilisation des Level Sets pour la propagation d’un contour (cas 2D) : un plan de coupe de rond correspond à un isoniveau.


Les avantages de l’extraction du niveau zéro sont qu’elle permet de gérer automatiquement les changements de topologie et offre toujours une courbe (surface en 3D) fermée.

contours actifs
  • FIG. 2 – Gestion des changements de topologie : les 2 courbes séparées (lorsque la fonction d’ensemble de niveaux était plus "haute") donnent à présent une courbe fusionnée.

Les problèmes majeurs de cette méthode sont les difficultés d’implémentation.

En effet, le calcul de la distance signée de la courbe de niveaux par rapport au contour actif et le calcul de son équation d’évolution au cours du temps ne sont pas simples.
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II - Résultats en images

  • Simulation de la technique des contours actifs géodésiques associée aux level sets.